PERMUTASI DAN KOMBINASI

byMathsthetic •Februari 12, 2025

0

PERMUTASI DAN KOMBINASI

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada situasi di mana kita harus menyusun atau memilih sesuatu. Misalnya, bagaimana cara menyusun tiga buku berbeda di rak? Berapa banyak cara memilih dua teman dari lima orang untuk membentuk tim? Inilah yang menjadi dasar dari konsep permutasi dan kombinasi dalam matematika.

Dengan memahami perbedaan antara permutasi dan kombinasi, kita dapat lebih mudah menyelesaikan berbagai permasalahan yang melibatkan penyusunan dan pemilihan dalam kehidupan nyata. Mari kita eksplorasi lebih lanjut bagaimana cara menghitung dan menerapkannya dalam berbagai situasi.

. A. PERMUTASI

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari suatu Kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutannya. Sebelum mempelajari jenis-jenis permutasi, mari kita pelajari dulu mengenai faktorial sebagai berikut.

· Pengertian Faktorial

Faktorial adalah hasil kali dari semua bilangan bulat positif yang dilambangkan tanda seru. Tanda seru (!) merupakan tanda faktorial dari suatu bilangan. Dengan kata lain, faktorial adalah hasil kali semua bilangan bulat positif yang ada di bawah bilangan faktorial dengan bilangan itu sendiri.

· Notasi Faktorial

Notasi faktorial secara umum dinyatakan dengan simbol n! Dimana n merupakan bilangan bulat positif. Untuk setiap n bilangan asli, notasi faktorial didefisinikan sebagai berikut.

· Faktorial Nol

Notasi faktorial n! untuk n = 0, didefinisikan dengan 0! = 1.

· Faktorial Negatif

Jika nilai faktorial 0 adalah faktorial 1 dibagi dengan 1 (1! / 1) maka nilai faktorial -1 adalah faktorial 0 dibagi dengan 0.

Hasilnya merupakan bilangan yang tidak terdefinisi. Jadi, semua hasil faktorial bilangan negatif (berapapun bilangannya dari -1 sampai minus tak hingga) adalah tidak terdefinisi.

· Contoh Soal

a. Tuliskan definisi dari faktorial berikut.

1. 8! = 8×7×6×5×4×3×2×1

2. 5! = 5×4×3×2×1

Ada 4 jenis permutasi dalam matematika, yaitu:

1. Permutasi dengan Sebagian Unsur Berbeda

Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia yaitu urutan berlainan r unsur yang diambil dari n unsur, dinotasikan dengan P(n, r) yang dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:

n = banyak unsur yang tersedia

r = banyak unsur yang diambil

Contoh:

Sekolah akan mengirimkan 3 orang siswa untuk mengikuti lomba membaca puisi dalam menyambut hari Pendidikan Nasional. Berapa cara yang dapat dilakukan oleh guru untuk menyeleksi 3 wakil sekolah yang akan dikirimkan jika terdapat 6 orang siswa yang mahir membaca puisi?

2. Permutasi dengan Semua Unsur Berbeda

Jika n unsur diambil dari n unsur yang berbeda maka banyak susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah sebagai berikut.

Contoh:

Kata SAPU terdiri dari 4 huruf. Ada berapa banyak macam susunan huruf yang dapat dibentuk?

Jadi, banyak susunan huruf yang dapat dibentuk adalah 24.

3. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama

dengan beberapa unsur yang sama adalah permutasi yang memuat unsur dengan sifat sama atau identik.dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:

P = banyak permutasi

n = banyak unsur seluruhnya

n1, n2, n3, ... nk = banyak unsur yang sama dalam setiap kelompok unsur (k < n)

Contoh:

Sebuah kotak berisi 6 jenis bola. Dari 6 bola itu ada 3 bola sepak, 2 bola basket, dan 1 bola voli. Jika bola-bola itu disusun teratur dalam sebaris. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat?

4. Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah banyaknya susunan unsur secara melingkar, dapat dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:

Psiklis = banyak permutasi siklis

n = banyak unsur seluruhnya

Contoh:

Pada suatu acara makan siang kerajaan yang dihadiri oleh 10 orang. Para tamu akan makan dengan posisi duduk melingkar. Banyaknya susunan yang bisa dibuat saat mereka duduk adalah …

. B. KOMBINASI

1. Pengertian Kombinasi

Kombinasi adalah cara penyusunan suatu unsur pada suatu kejadian yang tidak memperhatikan urutan. Kombinasi r unsur dari n unsur berbeda dapat dituliskan dengan C(n, r) yang dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:

n = banyak unsur yang tersedia

r = banyak unsur yang diambil

Contoh:

Dalam suatu ujian, guru meminta siswa untuk menjawab 5 soal dari 8 soal yang telah diberikan. Berapa banyak pilihan yang dimiliki siswa untuk menjawab soal tersebut?

2. Kombinasi Berulang

Kombinasi berulang adalah kombinasi yang pemilihan elemen dari himpunan dengan memperhatikan pengulangan. Banyaknya kombinasi r dengan pengulangan diperbolehkan yang dipilih dari himpunan dengan n anggota adalah