TRANSFORMASI FUNGSI
Materi selanjutnya yang akan kita bahas adalah mengenai kombinasi transformasi fungsi.
E. KOMBINASI TRANSFORMASI FUNGSI
Kombinasi transformasi
adalah transformasi yang diperoleh dari gabungan dua transformasi atau lebih.
1.
Kombinasi
Dua Translasi Berurutan
Jika titik A (x, y) ditranslasikan oleh T1
=
(a, b) dilanjutkan oleh T2 (c, d), kedua translasi
tersebut dapat dinyatakan dalam translasi tunggal. Dalam bentuk pemetaan
dituliskan sebagai berikut.
Contoh:
Tentukan hasil bayangan titik A(-3, 7)
jika ditranslasikan oleh T1 = (1, -1) dan
dilanjutkan T2 = (3, 5).
Penyelesaian
2.
Kombinasi
Dua Rotasi yang Sepusat
Rotasi berurutan yang sepusat sama dengan sebuah
rotasi terhadap jumlah kedua sudut rotasi dengan pusat yang sama, sehingga jika
sudut putar pertama dan sudut putar kedua. Maka berlaku:
Contoh:
Tentukan bayangan titik A (4, -6) jika
dirotasikan 70° dilanjutkan dengan rotasi -40° dengan pusat O.
Penyelesaian
Jadi, bayangannya adalah A’’ (2√3+3, 2-3√3)
3.
Kombinasi
Dua Refleksi Berurutan
a.
Refleksi
terhadap Dua Sumbu yang Sejajar Sumbu X
Jika A(x, y) dicerminkan terhadap garis
y = a dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = b maka A''(x, 2(b – a)+ y).
Contoh:
Dengan menggunakan rumus,tentukan
pencerminan titik P(-3, -5) terhadap garis y = -3 dilanjutkan y = 1
Penyelesaian
Diketahui x = -3 ; y = -5 ; a = -3
; b = 1
A''(x, 2(b – a)+ y)
= A''(-3,
2(1 – (-3))+(-5))
=
A''(-3, 2 + 6 – 5)
= A''(-3, 3)
b.
Refleksi
terhadap Dua Sumbu yang Sejajar Sumbu Y
Jika A(x, y) dicerminkan terhadap garis
x = a dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = b maka A''(2(b – a)+ x, y).
Contoh:
Tentukan hasil pencerminan titik R(-8,
6) terhadap x = -2 dan dilanjutkan
terhadap x = 7.
Penyelesaian
Diketahui x = -8 ; y = 6 ; a = -2
; b = 7
A''(2(b – a)+ x, y)
=
A''(2(7 – (-2) + (-8), 6)
=A''(14
+ 4 – 8, 6)
=A'' (10, 6)
c.
Refleksi
terhadap Dua Sumbu yang Saling Tegak Lurus
Refleksi berurutan terhadap dua sumbu
yang saling tegak lurus sama dengan rotasi sejauh 180°, dengan pusat titik
potong kedua sumbu refleksi.
Contoh:
Tentukan bayangan titik (3, 4) oleh
refleksi
·
Garis x = 5 dan dilanjutkan terhadap
garis y = -4
·
Garis y = 2 dan dilanjutkan terhadap
garis x = -3
Penyelesaian
·
Diketahui x = 3 ; y = 4 ; h = 5
; k = -4
A'(2(h – x) + x, 2(k – y) + y)
=
A'(2(5 – 3) + 3, 2(-4 – 4) + 4)
=
A'(10 – 6 + 3, -8 – 8 + 4)
=
A'(7, -12)
·
Diketahui x = 3 ; y = 4 ; h = -3
; k = 2
A'(2(h
– x) + x, 2(k – y) + y)
=
A'(2(-3 – 3) + 3, 2(2 – 4) + 4
=
A'(-6 – 6 + 3, 4 – 8 + 4)
=A'(-9, 0)
d.
Refleksi
terhadap Dua Sumbu yang Saling Berpotongan
Jika sudut pertama membentuk sudut α
terhadap sumbu X+, sumbu kedua membentuk sudut b terhadap sumbu X+
maka refleksi berurutan terhadap sumbu pertama dilanjutkan terhadap sumbu kedua
sama dengan rotasi sebesar 2(b – a), dengan pusat titik potong kedua sumbu
refleksi.
Contoh:
Tentukan bayangan titik A(2, -3) oleh
refleksi terhadap garis x = 2 dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 5.
Penyelesaian
Pusat P(2, 5)
dan α = 90°
4.
Kombinasi
Dua Dilatasi Berurutan
Jika titik P(x, y) didilatasikan
terhadap [O, k] kemudian dilanjutkan dilatasi [O, m] maka bayangan yang
terbentuk sebagai berikut.
P'(x', y') = (kmx, kmy) → x' = k · m · x
dan y' = k · m · x
Contoh:
Tentukan bayangan titik K(-6, 1) yang
didilatasikan berurutan terhadap titik pusat 0 (0, 0) dengan faktor skala -5
dilanjutkan dengan dilatasi dengan faktor skala 3.
Penyelesaian
Diketahui x = -6 ; y = 1 ; k = -5
; m = 3
P'(x',
y') → x' = k · m · x dan y' = k · m · y
=
-5 · 3 · -6 -5 · 3 · 1
=
90 -15
Jadi, bayangan titik K adalah K'(90, -15)